close
menu
 Walid Amriou

The website and the blog of Walid Amriou

You can use the translate tool

حساب المساحة المشتركة بين دائريتين

  • access_timeFriday, May 13, 2016
  • comment7 تعليقات
  • remove_red_eye مشاهدات

  • كنت قد نشرت على صفحتي في الفيسبوك منشورا يتحدث عن مشكل رياضي وهو حساب المساحة المشتركة بين دائريتين واليوم سأقوم بحل هذا المشكل في هذا المقال.




    لنبدأ .. 
    مدام أن للدائرتين نفس نصف القطر r  والبعد مركزيهما هو 2a نستطيع أن نأخذ دائرة واحدة حيث تشارك كل دائرة بمساحة قدرها نصف S .


    نبحث الآن عن كيفية إيجاد المساحة "نصف S ". تسمى هذه المساحة في الرياضيات بالقطعة الدائرية ويمكن حسابها من خلال عبارة معروفة وهي  : 




    معلومات أكثر عن هذه العبارة قم بزيارة هذه الصفحة من ويكيبيديا 


    حيث أن " تيتا " هي الزاوية المحصورة بين نقطتي تقاطع الخط المتقطع ومحيط الدائرة وبشكل أفضل شاهد هذا الرسم: 



    فلكي نجد المساحة S يكفي أن نجد نصف المساحة S ويكفي أن نجد أن نجد "تيتا" ويكفي ن نجد " نصف تيتا " لنجد " تيتا " ومنه نجد " نصف المساحة " ومنه نجد " المساحة كلها ".هذا يختصر ذلك:




    إذن نستطيع أن نجد الزاوية " تيتا " من خلال العلاقات المثلثية لأنه يمكننا تصور الشكل التالي:




    نحن سنأخذ نصف الزاوية فقط نعمل عليها ثم نضربها في 2 لكي تعمم على الزاوية كلها. ونلاحظ أن وتر المثلث القائم بين مركز الدائرة ونصف الخط الذي يقسم S  هو الوتر r ومجاور الزواية " نصف تيتا " هو a  إذن نستطيع من خلال العلاقات المثلثية أن نجد: 



    يمكنك حساب عكس cos من خلال الآلة الحاسبة حيث تحسب a/r ثم تضغط على 2ndf وتضغط على cos سيحسب لك الزاوية نصف تيتا.

    ومنه نجد تيتا :



    نعوضها في هذه المعادلة: 



    ونجد : 

    وهذه هي معادلة مساحة القطعة المشتركة بين الدائرتين. 





    الوسوم:
    Distance between two circles
    Mathematics

    7 comments:

    1. تحية طيبة أخي الغالي
      شكرا لك على الموضوع. يبدو أنك مهتم بالرياضيات ولا ألومك لأنها من أفضل العلوم
      لكن أخي الكريم المعادلات التي أدرجتها في موضوعك ليست صحيحة نهائيا . أرجو مراجعتها والتأكد منها

      ولك جزيل الشكر

      ReplyDelete
      Replies
      1. مرحبا، المبدأ الرياضي الذي إنطلقت منه يسمى
        Circular segment
        بالطبع يمكنك توضيح المشكلة بالضبط التي تراها فربما ما تراه هو طريقة أخرى لحل هذه المشكلة ويمكننا إضافته للمقال كمساهمة منك.
        شكرا مسبقا.

        Delete
    2. اخي انت مزجت بين الزوايا بالتقدير الدائري و التقدير الستيني
      فالمعادلة الاولى تماما التي بدأت بها موضوعة على ان الزاوية تكون بالتقدير الستيني و لكنك اكملت الخطوات بناء على انها بالتقدير الدائري

      ReplyDelete
      Replies
      1. يمكنك التحويل بين التقديرين بإستخدام الطريقة الموجودة هنا لأنني وضعت المعادلات بشكلها العام أي لم أقل ماهي قيمة الزاوية وبأي وحدة، أنظر هنا:
        https://en.wikipedia.org/wiki/Circular_segment#Area
        إذا رأيت أن هناك مشكلة أعد إرسال تعليق آخر يحتوي على كيف يجب أن تكون المعادلات وإذا كانت وجهة نظرك صحيحة سأقوم بتحديث الموضوع بمعادلاتك الجديدة.

        Delete
      2. الشكل المحصور من تقاطع اى دائرتين هو شكل بيضاوي و يمكن حساب مساحته ببساطة من القانون :
        S = π x a x b
        حيث:
        a = نصف القطر الاصغر
        b= نصف القطر الاكبر
        و يمكن بسهولة استنباط علاقة تربط بين هذا القانون و بين نصف قطر الدائرة الاصلية و نصف الزاوية المركزية للدائرة ، ان اردت سردت لك الخطوات

        Delete
      3. لم أنظر للشكل على أنه بيضوي هذا شيء رائع
        أسرد الخطوات المفصلة وسأنظر إليها ومن ثم إن كان يجب نشرها سأضيفها للموضوع لأنها فكرة جيدة حقا

        Delete
    3. لا اعرف كيف ارفع بالرسم و لكن لنفرض دائرتان متماثلتان و متقاطعتان في شكل بيضاوي عند النقطتان
      BD ،
      فان العلاقة بين النصف القطر الاكبر و الاصغر و نصف قطر الدائرة يمكن استنتاجه كالآتي
      AB^2= AG^2+BG^2
      R^2= (R-a)^2+b^2
      R^2= R^2-2aR+a^2+b^2
      2aR= a^2+b^2
      R= (a^2+b^2)/ 2a -----> العلاقة الاولى
      حيث:
      AB = R و هو نصف قطر الدائرة
      BG = b و هو نصف قطر الاكبر للشكل البيضاوي وهو في نفس الوقت عمودي على القطر الاصغر
      AG= a+ AE

      BC^2= AB^2+AC^2- 2 AB.AC.cos ω
      BC^2= R^2+R^2- 2 R.R. cos ω
      BC^2= 2 R^2- 2R^2 cos ω = 2R^2(1-cos ω)
      a^2+b^2= 2 R^2(1-cos ω)
      R^2= (a^2+b^2)/ 2(1-cos ω)-----> العلاقة الثانية

      حيث :
      ω = نصف الزاوية المركزية
      AC = R و هو نصف قطر الدائرة

      ReplyDelete

    تبرع



    مشروعي غير ربحي، ومُموّل ذاتيًا، أنا لا أتلقى أي أموال حكومية أو من أي جهة كانت سياسية أو غيرها، كما أنّنا لا ألتمس ذلك. و بالإضافة للتمويل الذاتي، الذي يبلغ حاليا 99٪ من مجمل التمويل، أنا أعتمد على المساهمة الطوعية لمؤسسات خاصة وأفراد مثلك لتطوير المشروع وتحقيق أهدافه.

    لدعمي يمكنك الضغط هنا


    آخر مقال

    لماذا أوراق نباتاتي خضراء بالمقارنة مع غيري في نفس المنطقة؟ Why the leaves of my plants are green compared to others in the same area?

    لفترة طويلة لاحظت بأن النباتات التي أضعها بالقرب من نافذتي ذات أوراق خضراء بالمقارنة مع جميع النباتات للناس الذين أعرفهم بالمنطقة التي...

    إقتباس الأسبوع

    إقتباس الأسبوع

    تابعني على Github

    المقالات الأكثر قراءة

    Linkedin

    تابعني على تيليغرام

    أرسل رسالتك

    Name

    Email *

    Message *

    المتابعة بالبريد الإلكتروني

    المتابعون